ここ数日の間ですが突然Dropboxが起動しなくなりました。
Windows 10側かDropbox側か、どちらかの仕様が変わったのでしょうか?

このようなメッセージが表示されて同期ができない状態です。

リンクをクリックするとウェブ上のヘルプに飛びました。(実際のページは「https://www.dropbox.com/help/72」でした。)

いろいろ行うにしてもまずはバックアップです。
Dropboxのような同期系のアプリは失敗すると空(から)で同期される可能性も否定できないですからね。

バックアップは単純にすべてのフォルダを別ドライブにコピーしました。

さて、公式ページにある復旧方法ですが以下のコマンドを順々に実行しろというのがありました。

icacls %HOMEPATH%\Dropbox /grant %USERNAME%:(F) /T
icacls %APPDATA%\Dropbox /grant %USERNAME%:(F) /T
icacls %LOCALAPPDATA%\Dropbox /grant %USERNAME%:F /T
icacls %PROGRAMFILES%\Dropbox /grant %USERNAME%:F /T

まず「icacls」というコマンドはフォルダにユーザー権限を与えるコマンドです。

簡単に説明すると、4つのフォルダ以下について指定したユーザーにフルアクセス権限を与えています。

最初からコマンドを入力するのは怖いので、まずはそれぞれの環境変数(%で括られた文字)のPATHがどこか調べました。
調べ方はコマンドプロンプト上でECHOコマンドで調べました。

echo %HOMEPATH%

結果は以下のとおりです。(一部、個人情報なので置き換えています。また「\」は実際には半角¥マークです。)

%HOMEPATH%    ・・・ \Users\ユーザー名
%APPDATA%     ・・・ c:\Users\ユーザー名\AppData\Roaming
%LOCALAPPDATA%  ・・・ c:\Users\ユーザー名\AppData\Local
%PROGRAMFILES%  ・・・ c:\Program Files

で、実際にそれらのフォルダを見たのですが、どうも既にユーザー名に対してフルアクセスが割り当てられていました。唯一、与えられていなかったのは「c:\Program Files (x86)」でした。(64bitプログラムがある「c:\Program Files」にはDropboxフォルダがありませんでした)

Administratorにはフルアクセスが与えられていたり、Usersグループに実行権限はありましたが、個人ユーザーの設定がありませんでした。

コマンドでは怖かったので、「c:\Program Files (x86)\Dropbox」フォルダ上で手動でログインユーザーに対してフルアクセス権を与えました。

その後、Dropboxをインストールし直したらDropboxのログイン画面が出てきて問題なく同期できるようになりました。

なお、Dropboxフォルダは新しく作られてネット上から再同期されました。すでにDropboxフォルダが残っていたら名称を変更するか新しい別名のフォルダを作成し同期フォルダになるようです。

セキュリティ画面など画像を貼りにくいものが多く、文章だらけの説明になりましたが、よく分からない場合はコメントにて質問してください。分かる範囲で回答させて頂きます。

※お約束ですが、上記内容は自己責任でお願い致します。